Muss die Wartung von Aufzügen durch eine Aufzugsfirma durchgeführt werden, die entsprechend der Aufzugsrichtlinie 2014/33/EU und DIN EN 13015 zertifiziert ist?

Wartung ist ein Bestandteil der Instandhaltung. § 10 der Betriebssicherheitsverordnung führt dazu aus:

(1) Der Arbeitgeber hat Instandhaltungsmaßnahmen zu treffen, damit die Arbeitsmittel während der gesamten Verwendungsdauer den für sie geltenden Sicherheits- und Gesundheitsschutzanforderungen entsprechen und in einem sicheren Zustand erhalten werden. Dabei sind die Angaben des Herstellers zu berücksichtigen. Notwendige Instandhaltungsmaßnahmen nach Satz 1 sind unverzüglich durchzuführen und die dabei erforderlichen Schutzmaßnahmen zu treffen.

(2) Der Arbeitgeber hat Instandhaltungsmaßnahmen auf der Grundlage einer Gefährdungsbeurteilung sicher durchführen zu lassen und dabei die Betriebsanleitung des Herstellers zu berücksichtigen.
Instandhaltungsmaßnahmen dürfen nur von fachkundigen, beauftragten und unterwiesenen Beschäftigten oder von sonstigen für die Durchführung der Instandhaltungsarbeiten geeigneten Auftragnehmern mit vergleichbarer Qualifikation durchgeführt werden.

(3) Der Arbeitgeber hat alle erforderlichen Maßnahmen zu treffen, damit Instandhaltungsarbeiten sicher durchgeführt werden können ...

Die Verantwortung für die Wartung liegt also beim Arbeitgeber. Dieser ist gehalten, dafür kompetentes Personal bzw. ein entsprechendes Instandhaltungsunternehmen zu beauftragen.